Теория вероятности

3 курс 1 семестр
Аватара пользователя
Артём Мамзиков
Admin
Сообщения: 367
Стаж: 2 года 9 месяцев
Откуда: Вологодская область
Контактная информация:

Теория вероятности

Сообщение Артём Мамзиков »

Архив 100руб
Содержимое архива
Содержимое архива
Содержимое архива
7 вариант
1
1
2
2
3
3
4
4
Задача 1
В новогодней лотерее разыгрывается n призов. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
Исходные данные: n = 13, N = 50.

Решение:
Обозначим событие, когда первый подошедший извлекает выигрышный билет через A.
Тогда по классическому определению вероятностей:
– искомая вероятность.
Ответ:

Задача 2
В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое её расположение в круге равно возможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Исходные данные: r = 42, a = 36.

Решение:
По геометрическому определению вероятностей искомая вероятность P(A) будет равна отношению площади квадрата к площади круга (поскольку квадрат целиком расположен в круге).
Найдем площади фигур:
Площадь круга: ед.²;
Площадь квадрата ед.²
Тогда искомая вероятность указанного события будет равна:

Ответ:

Задача 3
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны p1 и p2. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятности того, что при пожаре сработает только один датчик.
Исходные данные: p1 = 0.88, p2 = 0.74.

Решение:
Найдем вероятности и того, что соответствующие датчики не сработают:

Рассмотрим два противоположных (несовместных) события:
- при пожаре сработает хотя бы один датчик;
- при пожаре не сработает ни один из датчиков.
Поскольку события и являются противоположными, поэтому: .
Поскольку события и являются независимыми, то по теореме умножения независимых событий имеем: .
Тогда искомая вероятность будет равна:
.
Рассмотрим событие, когда при пожаре сработает ровно один датчик. Обозначим его B. Поскольку оба датчика работают независимо друг от друга, то их одновременная работа запишется следующим образом: . Откуда получим: .
Очевидно, что событие произойдет тогда, когда сработают оба датчика, событие мы уже рассматривали. Поэтому P( A ) + P( ) = = 1.
Тогда искомая вероятность P( B ) = P( A ) – = 0.9688 – 0.6512 = 0.3176
Проверка:

Ответ: ,

Задача 4
В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и P. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того; что была выбрана первая винтовка?
Исходные данные: P = 0.84.

Решение:
Рассмотрим событие, когда стрелок совершил попадание из случайно выбранной винтовки. Обозначим его A. Выбор любой из винтовок равновозможен, поэтому вероятность выбора каждой из них равна 0.2.
По формуле полной вероятности вероятность рассматриваемого события равна:

Рассмотрим событие, когда попадание произошло. Это событие обозначено у нас A. Условие, что была выбрана именно первая винтовка, является для этого события гипотезой. Обозначим ее . Вероятность выбора первой винтовки равна 0.2. Но поскольку было произведено попадание в мишень, событие случилось, а вероятность попадания из первой винтовки самая низкая, то и вероятность выбора первой винтовки в этом случае очевидно должна быть меньше 0.2.
Фактически задача сводится к тому, чтобы найти условную вероятность P( B1| A ) для гипотезы при свершении события A. Для этого воспользуемся формулой Байеса:

Для сравнения для четвертой (самой пристреленной) винтовки условная вероятность будет равна:

Ответ: ,

Задача 5
Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна p. Определить вероятность того что, сделав n бросков, он m раз попадет.
Исходные данные: n = 8, m = 5, p = 0.1.

Решение:
Данная задача являет собой пример о повторных независимых испытаниях. Для расчета искомой вероятности в данном случае лучше использовать формулу Бернулли:
,
где – вероятность промаха в каждом броске,
Ответ:

Задача 6
Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. Определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится: а) ровно три бракованных детали; б) не более 3-х бракованных деталей.
Исходные данные: N = 4500, p = 0.001.

Решение:
Для решения таких задач используют приближенные формулы. Мы воспользуемся формулой Пуассона (так как p меньше 0.1):
, где для нашего случая ,
Соответственно вероятность того, что в данной партии будет ровно три бракованные детали, будет равна:

Найдем вероятность того, что в данной партии будет не более трех бракованных деталей. По теореме сложения несовместных событий будем иметь:
.
Ответ: ,

Задача 7
В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0.5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между и .
Исходные данные: n =6400 , = 3160, = 3240.

Решение:
Поскольку n существенно больше 15 для решения этой задачи можно использовать интегральную предельную теорему Лапласа, описываемую приближенной формулой:
, где ,
Для практического применения Лаплас ввел функцию , называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
После подстановки интегральная формула Лапласа примет вид:
, где , , , ,
– вероятность не включения для каждой из ламп.
Функция Лапласа вычисляется с помощью таблиц.
Таким образом, искомая вероятность будет равна:

Подставляя в полученную формулу значения функции Лапласа, получим искомую вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено в указанном интервале:
0,6826
Ответ: 0,6826

Задача 8
Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
Исходные данные: N = 18.

Решение:
Вероятность того, что конкретный звонок попадет в какую-либо минуту, равна:
.
Поскольку p < 0.1 используем формулу Пуассона для нахождения искомой вероятности:
, где для данной задачи – среднее количество вызовов в минуту, – искомое количество вызовов в минуту.
Таким образом, вероятность того, что за данную минуту станция получит ровно два вызова, будет равна:

Чтобы найти вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов, определим сначала вероятность того, что за данную минуту станция получит не более двух вызовов:


=0.7424+0,2227+0.0334=0,9985

Используя теорему о противоположных событиях, найдем вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов:

Ответ: ,

Задача 9
Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.
Исходные данные: n =2, N = 4.

Решение:
Поскольку погрешности в измерениях подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся формулой:
, где – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение, – заданная точность.
Таким образом, вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 4 грамма, будет равно:

Ответ:

Задача 10
Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01?
Исходные данные: n =1000, m =200.

Решение:
Поскольку задачи определения брака (качества) подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся для решения этой задачи следующей формулой:
, где = 0.95 (95%) - заданная надежность.
Тогда с учетом того, что , формула из предыдущей задачи запишется в следующем виде:

Сделаем подстановки: , .
Тогда формула примет вид:
Найдем :

По соответствующей таблице находим, что .
Найдем среднеквадратическое отклонение . Для этого найдем дисперсию . Дисперсия при нормальном законе распределения, согласно теореме Бернулли, когда , равна .
Вероятность того, что деталь окажется высшего сорта, будет равна: ,
Вероятность того, что деталь будет не высшего сорта, равна: .
Соответственно, дисперсия будет равна: .
0.4183.
Из уравнения переменной выразим N, получим:

Ответ: для того, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01 необходимо проверить не менее 6721 изделий.

Задача 11
В вариантах данной задачи известен закон распределения дискретной случайной величины :
X 0 1 2 3 5
P 0.2 0.2 0.2 0.1 0.3
Определить: а) математическое ожидание ; б) дисперсию ; в) вероятность попадания в интервал , т.е. ; г) построить график интегральной функции распределения .
Исходные данные: = 1, =4.

Решение:
Заполним расчетную таблицу:

0 1 2 3 5 Суммы

0.2 0.2 0.2 0.1 0.3 1

0 0.2 0.4 0.3 1.5 2.4

0 0.2 0.8 0.9 7.5 9.4

Математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

Составим интегральную функцию распределения:

- вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.
Ответ: , , 0,5 ?????????????????

Задача 12
Непрерывная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с плотностью .
Найти: а) значение параметра ; б) математическое ожидание ; в) дисперсию ; г) .
Исходные данные: , .

Решение:
Функция плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид:
, где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.
= , откуда, а = 0, .
, , 0,412=0,168
Для нахождения вероятности попадания в интервал используем формулу:

- вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.
Ответ: , , ,
Последний раз редактировалось Артём Мамзиков Вт апр 02, 2019 20:16, всего редактировалось 1 раз. количество слов: 222
Аватара пользователя
Артём Мамзиков
Admin
Сообщения: 367
Стаж: 2 года 9 месяцев
Откуда: Вологодская область
Контактная информация:

Теория вероятности

Сообщение Артём Мамзиков »

Вариант 5

Вариант № 5

Задача 1
В новогодней лотерее разыгрывается n призов. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
Исходные данные: n = 15, N = 80.

Решение:
Обозначим событие, когда первый подошедший извлекает выигрышный билет через A.
Тогда по классическому определению вероятностей:
– искомая вероятность.
Ответ:

Задача 2
В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое её расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Исходные данные: r = 35, a = 28.

Решение:
По геометрическому определению вероятностей искомая вероятность P(A) будет равна отношению площади квадрата к площади круга (поскольку квадрат целиком расположен в круге).
Найдем площади фигур:
Площадь круга: ед.²;
Площадь квадрата ед.²
Тогда искомая вероятность указанного события будет равна:

Ответ:

Задача 3
Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны p1 и p2. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятности того, что при пожаре сработает только один датчик.
Исходные данные: p1 = 0.86, p2 = 0.94.

Решение:
Найдем вероятности и того, что соответствующие датчики не сработают:

Рассмотрим два противоположных (несовместных) события:
- при пожаре сработает хотя бы один датчик;
- при пожаре не сработает ни один из датчиков.
Поскольку события и являются противоположными, поэтому: .
Поскольку события и являются независимыми, то по теореме умножения независимых событий имеем: .
Тогда искомая вероятность будет равна:
.
Рассмотрим событие, когда при пожаре сработает ровно один датчик. Обозначим его B. Поскольку оба датчика работают независимо друг от друга, то их одновременная работа запишется следующим образом: . Откуда получим: .
Очевидно, что событие произойдет тогда, когда сработают оба датчика, событие мы уже рассматривали. Поэтому P( A ) + P( ) = = 1.
Тогда искомая вероятность P( B ) = P( A ) – = 0.9916 – 0.8084 = 0.1832
Проверка:

Ответ: ,

Задача 4
В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и P. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того; что была выбрана первая винтовка?
Исходные данные: P = 0.83.

Решение:
Рассмотрим событие, когда стрелок совершил попадание из случайно выбранной винтовки. Обозначим его A. Выбор любой из винтовок равновозможен, поэтому вероятность выбора каждой из них равна 0.2.
По формуле полной вероятности вероятность рассматриваемого события равна:

Рассмотрим событие, когда попадание произошло. Это событие обозначено у нас A. Условие, что была выбрана именно первая винтовка, является для этого события гипотезой. Обозначим ее . Вероятность выбора первой винтовки равна 0.2. Но поскольку было произведено попадание в мишень, событие случилось, а вероятность попадания из первой винтовки самая низкая, то и вероятность выбора первой винтовки в этом случае очевидно должна быть меньше 0.2.
Фактически задача сводится к тому, чтобы найти условную вероятность P( B1| A ) для гипотезы при свершении события A. Для этого воспользуемся формулой Байеса:

Для сравнения для четвертой (самой пристреленной) винтовки условная вероятность будет равна:

Ответ: ,

Задача 5
Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна p. Определить вероятность того что, сделав n бросков, он m раз попадет.
Исходные данные: n = 5, m = 3, p = 0.1.

Решение:
Данная задача являет собой пример о повторных независимых испытаниях. Для расчета искомой вероятности в данном случае лучше использовать формулу Бернулли:
,
где – вероятность промаха в каждом броске,
Ответ:

Задача 6
Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. Определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится: а) ровно три бракованных детали; б) не более 3-х бракованных деталей.
Исходные данные: N = 4000, p = 0.001.

Решение:
Для решения таких задач используют приближенные формулы. Мы воспользуемся формулой Пуассона (так как p меньше 0.1):
, где для нашего случая ,
Соответственно вероятность того, что в данной партии будет ровно три бракованные детали, будет равна:
.
Найдем вероятность того, что в данной партии будет не более трех бракованных деталей. По теореме сложения несовместных событий будем иметь:
.
Ответ: ,

Задача 7
В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0.5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между и .
Исходные данные: n =2500 , = 1250, = 1275.

Решение:
Поскольку n существенно больше 15 для решения этой задачи можно использовать интегральную предельную теорему Лапласа, описываемую приближенной формулой:
, где ,
Для практического применения Лаплас ввел функцию , называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
После подстановки интегральная формула Лапласа примет вид:
, где , , , ,
– вероятность не включения для каждой из ламп.
Функция Лапласа вычисляется с помощью таблиц.
Таким образом, искомая вероятность будет равна:

Подставляя в полученную формулу значения функции Лапласа, получим искомую вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено в указанном интервале:
0,3413 – 0 0,3413
Ответ: 0,3413

Задача 8
Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
Исходные данные: N = 12.

Решение:
Вероятность того, что конкретный звонок попадет в какую-либо минуту, равна:
.
Поскольку p < 0.1 используем формулу Пуассона для нахождения искомой вероятности:
, где для данной задачи – среднее количество вызовов в минуту, – искомое количество вызовов в минуту.
Таким образом, вероятность того, что за данную минуту станция получит ровно два вызова, будет равна:

Чтобы найти вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов, определим сначала вероятность того, что за данную минуту станция получит не более двух вызовов:

Используя теорему о противоположных событиях, найдем вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов:

Ответ: ,

Задача 9
Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.
Исходные данные: n =1, N = 2.

Решение:
Поскольку погрешности в измерениях подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся формулой:
, где – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение, – заданная точность.
Таким образом, вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 2 грамма, будет равно:

Ответ:

Задача 10
Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01?
Исходные данные: n =1600, m =200.

Решение:
Поскольку задачи определения брака (качества) подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся для решения этой задачи следующей формулой:
, где = 0.95 (95%) - заданная надежность.
Тогда с учетом того, что , формула из предыдущей задачи запишется в следующем виде:

Сделаем подстановки: , .
Тогда формула примет вид:
Найдем :

По соответствующей таблице находим, что .
Найдем среднеквадратическое отклонение . Для этого найдем дисперсию . Дисперсия при нормальном законе распределения, согласно теореме Бернулли, когда , равна .
Вероятность того, что деталь окажется высшего сорта, будет равна: ,
Вероятность того, что деталь будет не высшего сорта, равна: .
Соответственно, дисперсия будет равна: .
0.3307.
Из уравнения переменной выразим N, получим:

Ответ: для того, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01 необходимо проверить не менее 4201 изделий.

Задача 11
В вариантах данной задачи известен закон распределения дискретной случайной величины :
X -5 -4 -2 0 1
P 0.2 0.2 0.1 0.3 0.3
Определить: а) математическое ожидание ; б) дисперсию ; в) вероятность попадания в интервал , т.е. ; г) построить график интегральной функции распределения .
Исходные данные: = -3, =0.

Решение:
Заполним расчетную таблицу:

-5 -4 -2 0 1 Суммы

0.2 0.2 0.1 0.3 0.3 1.1

-1 -0.8 -0.2 0 0.3 -1.7

5 3.2 0.4 0 0.3 8.9

Математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

Составим интегральную функцию распределения:

- вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.
Ответ: , , 0,1

Задача 12
Непрерывная случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с плотностью .
Найти: а) значение параметра ; б) математическое ожидание ; в) дисперсию ; г) .
Исходные данные: , .

Решение:
Функция плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид:
, где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.
= , откуда, а = 2, .
, ,
Для нахождения вероятности попадания в интервал используем формулу:

- вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.
Ответ: , , ,
количество слов: 208
Ответить Вложения 5 Пред. темаСлед. тема

Вернуться в «Теория вероятности»