Алгебра и Геометрия

Алгебра и Геометрия
1 курс 2 семестр
Аватара пользователя
Артём Мамзиков
Admin
Сообщения: 367
Стаж: 2 года 9 месяцев
Откуда: Вологодская область
Контактная информация:

Алгебра и Геометрия

Сообщение Артём Мамзиков »

Решенный 7 вариант
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
Методичка распознана через ABBYY FineReader 11
И просто перегнана в текст для подхвата поисковыми системами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ . ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения (II семестр)
Факультет заочного и дистанционного обучения Инженерно-технические специальности
Вологда 2005
УДК: 517.3
Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения (II семестр). — Вологда: ВоГТУ, 2005. — 28 с.
В методических указаниях рассматриваются основные типы задач курса высшей математики, изучаемые во II семестре студентами всех инженерно- технических специальностей Вологодского государственного технического университета заочной формы обучения. Решения всех типов задач разобраны с достаточно подробными комментариями. Контрольные задания содержат варианты задач для самостоятельного решения.
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Составители: А.А.Аваев, канд. техн. наук, доцент С.В.Иванова, ассистент Т.А.Рожина, ассистент
Рецензент: О.И.Микрюкова, канд. физ.-мат. наук, доцент
Настоящие методические указания служат руководством для студентов- заочников при самостоятельном выполнении контрольных заданий, заплани-рованных во II учебном семестре. С их помощью в условиях дефицита учеб-ной литературы по математике студент-заочник может самостоятельно разо-браться в основных типах задач и без посторонней помощи справиться с вы-полнением контрольных заданий.
1. Некоторые приложения дифференциального исчисления функций
одной переменной

1.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /{х)=хг -Ъх на интервале [0;2].
Решение.
1) . Находим критические точки функции на интервале [0;2]:
/'(х)=3х2-3; 3jc2-3=0; ^=-1; х2=\.
Так как точка хх =-1 не принадлежит интервалу [0;2], то ее исключаем
из дальнейшего рассмотрения.
Вычисляем значение функции в оставшейся точке JC2 =1:
/(l)=l3-3* 1=-2.

2). Вычисляем значения функции на концах интервала [0;2]:
/(0)=03 -3 • 0=0; /(2)=23 -3 • 2=2.
Среди полученных значений функции выбираем наибольшее и наи- меньшее значения: ynau6=f{2)= 2; Уиои.„.=/0)=-2.

1.2. Из квадратного листа жести со стороной а требуется сделать от-крытый сверху ящик, возможно большего объема, вырезая равные квадрат-ные уголки и загибая жесть. Какова должна быть сторона вырезаемых квад-ратных уголков?
Решение.
Пусть сторона вырезаемого квадрата равна х, тогда сторона квадрата, образующего дно ящика, равна а-2х (см. рис.). При этом объем ящика
V(x)=(a-2xf х=а2х-4ах2 +4х3.
-I In

X а-2х
а —^

Для решения задачи нужно определить наибольшее значение функции v{x) на интервале (0,д/2). Находим производную
V'(x)=a2 -8ox+12jc2 .
Решая уравнение
а2 -%ах+\2х2 =0,
получим критическую точку х=а/69 принадлежащую указанному интервалу (второй корень х-а!2 не принадлежит этому интервалу).
Так как при х=а!6 вторая производная
И"(д:)=-8а+ 24*
является отрицательной
У"(а/б)=- 8я+ 24 • а/6=- 4а<0, то в точке х=а/ 6 объем достигает максимума
^max =v(a/6)=(a~2 ■ a/6f ■ а/6=2а3/27.
Этот максимум функции является ее наибольшим значением. Итак, коробка имеет наибольший объем, если сторона вырезанного квадрата равна а/6.
1.3. Исследовать функцию у=х+2+— и построить ее график.
х
Решение.
1) . Нахождение области определения функции, точек разрыва, интерва¬лов непрерывности и асимптот графика функции.
Функция f(x)=x+2+ — определена на всей числовой оси кроме точки
х
х=0.
lim [ *+2+—|=-оо; Пт
jc->0-0V х) *->0+0
Таким образом, функция непрерывна на интервалах (-<х>;0),(0;+оо), а в точке jc=0 имеет бесконечный разрыв. Кроме того прямая *=0 (ось Оу) яв-ляется вертикальной асимптотой графика функции.
Коэффициенты киЪ уравнения у=кх+Ьнаклонной асимптоты:
Л*)- К,
к= lim — - = lim
дг-»±оо х д:->±оо
b= lim [f{x)-kx]= lim f 2+—1=2. х->±& х—>±°о\ х)
Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту
у=х+2.
Следует отметить, что так как /(- х)=-х+2- —, то функция не являет-
х
ся ни четной (/(- *)= /(*)), ни нечетной (/(- -*)=- /(х)).
2) . Нахождение точек экстремума, интервалов возрастания и убывания. Производная /'(х):
->-Л-
X X
Критические точки - точки, в которых f\x)= 0 или /'(*) не существует:
,2
/'(*)=—2"-=0=>*2 -1=0 => JCI =— 1; Х2 =1 -
х
В точке х=0 производная /'(*) не существует, но эта точка не может быть точкой экстремума, так как х=0 является точкой разрыва функции. Критические точки х=~ 1,*=1 следует нанести на числовую ось и определить знаки произ¬водной fix) в точках слева и справа от критической точки. В качестве таких то¬чек можно взять, например, точки х=-2, x=-l/2fx=l/2,x=2.
п+" ttmff ffmtt
-2 -1/2 1/2 2
-*•
-J О
/'(-2)=/'(2)=3/4>0)/'(-l/2)=/'(l/2)=-3<0.
Таким образом: точка дс=— 1 является точкой максимума, при этом .Уmax =/(“ 0=^> точка х=1 является точкой минимума, при этом ут[п = f(l)=4. На интервале (- оо;—l) функция возрастает, на интервалах (- l;0),(0;l) убывает, а на интервале (l;+oo) - снова возрастает.
3) . Нахождение точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
Производная /*(*)=[/’'(*)/ =
V Л-2,


Абсциссы точек перегиба графика функции - точки, в которых /0(х)=О или не существует. В данном случае /"(*)*0, а точка *=0, в которой /*(*) не существует, не может быть абсциссой точки перегиба, так как в этой точке функция не определена, следовательно, график функции не имеет точек перегиба. Тем не менее для нахождения интервалов выпуклости и во¬гнутости следует определить знаки /0(х) в точках слева и справа от точки х=0. В качестве таких точек можно взять, например, точки х=-1,*=1.
ГГ _i_ ft 1
о
/'(-1)=-2<0;Г(1)=2>0.
Таким образом, на интервале (-°°;0) график функции является выпук¬лым, а на интервале (0;+оо) - вогнутым.
4). Построение графика функции.
Перед построением графика функции следует найти его точки пересече-ния с осями координат. С осью Ох:
=0=>JC=-1.
С осью Оу график функции точек пересечения не имеет, так как при *=0 функция не определена. Так как функция не является ни четной ни не¬четной, то ее график не обладает симметрией относительно оси Оу или на¬чала координат. Г рафик функции представлен на следующем рисунке.


1. 4. С помощью графического метода найти интервал (ayb) , на котором
находится действительный корень х* уравнения х3+л:-6 = 0. Пользуясь
методом Ньютона, получить приближенное значение корня с точностью до 0,001.
Решение.
Уравнение х3 + х - 6 = 0 можно представить в виде
хъ = 6 -X,
следовательно, действительный корень х * совпадает с абсциссой точки пе-ресечения кубической параболы у = х3 и прямой у = 6- х (см. рис.)
У


Из рисунка следует, что х* находится на интервале (l;2) (то есть д = 1,
1 О \ \Г т т .

вующее (менее точное) и последующее (более точное) приближенные значе-ния корня.
Так как /'(*)= Зх2 +1, то

В качестве лг0- начального (грубо приближенного) значения корня сле-дует взять один из концов найденного интервала (l;2), для которого выпол-няется условие
/(*<>)•/'(*(>)> °-
Так как f"(x)=6x, то: /(l)= -4,/"(l)= 6,/(l)- /'(l)= -24 < 0;/(2)= 4, /'(2)= 12,/(2)- /*(2)= 48 > 0. При этом х0 = 2.
Точность приближенных вычислений оценивается следующим образом


где е - заданная точность вычислений, в данном случае е = 0,001. Вычисления сведены в следующую таблицу
n f(Xn) /'CO \K\
0 2 4 13 0,3077
1 1,6923 0,5388 9,5916 0,0562
2 1,6361 0,0156 9,0305 0,0017
3 1,6344 0,0003 9,0138 0,00003

Из таблицы ясно видно как с ростом п уменьшаются значения \hn\. При и = 3 => \hn\ = 0,00003 < е = 0,001, то есть требуемая точность вычислений дос¬тигнута, при этом х* «1,634.
2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
и его некоторые приложения
2.1. 2 = у*. Найти z'x,z'y,dz,z"xy,z"yx-
Решение.
При дифференцировании функции двух переменных по переменной х переменная у считается постоянной, поэтому
z'x=yx Any.
При дифференцировании по переменной у переменная х считается по-стоянной, поэтому
z'y=x-yx~l.
Так как полный дифференциал 1-го порядка dz определяется выражением
dz = z'x • dx + z'y • dy,
то dz = yx • In у dx + x • yx~] • dy = yx~l (ylnydx + x- dy).
Так как znxy = (zx) y, to
z% - (yx • wjb-=G'1) У •,n у+Ух ■ (ln у) У =
= x • yx~l ■ ln у + yx ■ — = y*~*(x ■ ln у +1).
У
Так как zyx =(z^)*,to
z'yx = (* • y*~l )* = (*) * • y*~' + x ■ (?*-') * =
= yx~x + x • yx~l -Щ = • In у % l).
Таким образом z*y = z*x.
2.2. С помощью полного дифференциала функции двух переменных вы-числить приближенно значение выражения
Щ,048 + 2-VO976 + 5.
Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Решение.
Как известно
Лхо + Л*».Уо + 4у)« /(*о >>>о)+ <1Ахо>Уо)> где df(х0 ,Уо)- полный дифференциал функции f(x,y) при х = х0, у = у0.
Так как
4f(*о >Уо)= ГА*0 .Уо)^ + fy(X0 .^о)Ау . то df(x0 + Ах,у0 + Ау)я/(х0,Уо)+Я(*о,Уо)&* + fy(xo>Уо)&У ■
Для данной задачи
f(x,y)=}Jlfx + 2-yfy + 5-9 х0 + Ах = 1,048;у0 + Ау = 0,976;*0 = 1;у0 =1;Ах = 0,048;Ду = -0,024 . Частные производные:
Значения f(x0,у0), fx(jc0 ,y0),f’y (х0,у0) составляют:
/(*> ,Уо)= /0;0= 2;/fo ,^о)= /;(1;1)= 1/48; /;(х0 ,Л)=/;(1;1)= 1/12. Таким образом,
л/0,048 + 2 • Jo,976 + 5 » 2 + — • 0,048 + — ■ (- 0,024)= 1,999.
^ ^ 48 12 v '
Результат вычислений с помощью микрокалькулятора составляет пример¬но 1,998969. Считая результат вычислений с помощью микрокалькулятора бо¬лее точным, оценим в процентах относительную погрешность вычислений
11, 998969 -1,999|
I • 100% * 0,002%.
1,998969
2.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x +у2- лу + х + у в замкнутой области D:x = 0;y = 0;х + + 3 = 0. 
Решение.
Функция непрерывная в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, рас-положенной в этой области, или в точке границы этой области.
Область D представлена на рисунке.


1) . Нахождение значений функции в критических точках.
Частные производные 1-го порядка функции z = f(x,y)=x2 + у2 -ху + + х + у: z'x =2x-y + \;z'y = 2у-х + 1.
Для данной функции существует только одна критическая точка, кото-рая находится из условий
2х- у = -\ fx = -l
х-2у = \ [у = -1
Точка A/(-l;-l) принадлежит области D (в противном случае ее не
следовало бы в дальнейшем рассматривать). Значение функции в критиче-ской точке Af(-1;— l) составляет
2) . Исследование функции на границах области.
При х = 0 функция двух переменных превращается в следующую функ-цию одной переменной
г = У2+У,
определенную на интервале [— 3;0] (см.рис.).
Критические точки функции z = у2 + у находятся из условия z' - 0 => =>2<у + 1 = 0=>_у = -1/2. Следует отметить, что точка у = -1/2 принадлежит интервалу [-3;0].
Значения функции z = y2+y в точках у = -3,^ = -1/2,у = 0:z(-3)=6; z(-l/2)=-l/4;z(0)=0.
Таким образом, /(О;- 3)= 6;/(0;-1/2)=-1/4;/(0;0)= 0. 
При 7 = 0 функция двух переменных превращается в следующую функ-цию одной переменной
2
Z = X +Х,
определенную на интервале [— 3;0] (см.рис.).
Критические точки функции z = x2+x находятся из условия z' = 0=> => 2х +1 = 0 => х = -1/2. Следует отметить, что точка х = -1/2 принадлежит интервалу [-3;0].
Значения функции z = x2+x в точках x = -3,jc = -1/2,x = 0:z(-3)=6; z(-l/2)=-l/4;z(0)=0.
Таким образом, /(-3;0)=6;/(-1/2;0)=-1/4;/(0;0)=0.
При у = -х - 3 функция двух переменных превращается в функцию од¬ной переменной
z = Зх2 + 9х + 6, определенную на интервале [— 3;0] (см.рис.).
Критические точки функции z = Зх2 + 9х + 6 находятся из условия zf = 0=>6jc + 9 = 0=>x = -3/2 . Следует отметить, что точка х = -3/2 принад¬лежит интервалу [- 3;0]. При х = -3/2 <=> у = -3/2.
Значения функции z = 3x +9х + 6 в точках х = -3;л = -3/2;jc = 0: z(- 3)= 6;z(- 3/2)=-3/4;z(0)= 6.
Таким образом, /(-3;0)=6, /(-3/2;-3/2)=-3/4;/(0;-3)=6.
3) . Выбор наибольшего и наименьшего значений функции среди ранее полученных значений.
W = /(0,-3)- /(- 3;0)= 6;W =/(-l;-l) = -l.
2.4. Экспериментально получены пять значений функции у = f(x) при пяти значениях аргумента х, которые представлены в таблице.
щ 1 2 3 4 5
У1 4,3 5,3 3,8 1,8 2,3

Методом наименьших квадратов найти функцию у = ах + Ь, описываю-щую приближенно (аппроксимирующую) экспериментальные данные. Сде-лать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспери-ментальные точки M^x^yj и график аппроксимирующей функции
у = ах + Ь.
Решение.
Коэффициенты а,Ь уравнения прямой у~ах + Ь выбираются из усло¬вия наилучшего приближения экспериментальных данных прямой линией: наименьшее значение суммы квадратов разностей ординат ах, + b точек прямой и у( точек Л/Дх,- . Такая сумма квадратов разностей является функцией двух переменных а,Ь
Ha’b)=+Ь~У(? -
/=1
где ^-,^(/ = 1,2,..., я) - постоянные величины, взятые из таблицы исходных данных.
Функция Fya.b) имеет минимум, которому соответствует критическая точка, определяемая из условий:
rF;M)=0;
Ы(<|,6)=0;


щя
'YJl-(axi+b-yi) х(=0;
/=1 .
Я
£2(ах,+Ь-у,)1~0;
1=1
Для нахождения коэффициентов
1=1 /*1 1=1 /-1 уравнений последней системы используется следующая таблица.
i Щ A ЪУу
1 1 4,3 1 4,3
2 2 5,3 4 10,6
3 3 3,8 9 11,4
4 4 1,8 16 7,2
5 5 2,3 25 11,5
n
X 15 17,5 55 45,0
Таким образом, в данном случае система имеет вид:

55а + 156 = 45; J Па + 36=9|
15а + 5Ъ = 17,5; ^ [15а + ЪЪ = 17,5.
Решением этой системы является пара чисел: а = -0,75;6 = 5,75. Следо-вательно искомое уравнение прямой имеет вид у = -0,75* + 5,75.
Эта прямая и точки Л/, (l; 4,3), М2 (2; 5,3); Мъ (3; 3,8), М4 (4; 1,8), М5 (5; 2,3) приведены на следующем рисунке.

Ф . .
«к -apfe-,
j cos х + 9 Так как sin х • dx = -</(cosx), то


Ф • j ./ \
sin х-ах г a|cosxj
cos2 х + 9 г cos2 х + 9
о
Введем новую переменную интегрирования - / = cosx? при этом новые границы интегрирования: tx = cos0 = 1 ;/2 = соб(лг/3)= 1/2.
Таким образом

2). J(x2 + x + 2)sin(3x) flfjc.
При нахождении этого интеграла следует дважды применить метод ин-тегрирования по частям
j(x2 + х + 2)sin(3x) dx = --(х2 + х + 2)cos(3x)+
w = х2 + х + 2 JM = (2Х + l)d!x */v = sin(3x)jx v = —- cos(3x)
+ - f(2x + l)cos(3x)d!x = ——(x2 + x + 2)cos(3x)+
3 J 3
du = 2xdx i .
и = 2x +1
dv = cos(3x)d!x v = —sin(3x)
I
-(2x + l)sin(3x)— |sin(3x)d!x
3 3 J
= --(х2 + х + 2)cos(3je)+ -(2x + l)sin(3x)+ — cos(3jc)+С =
3 9 27
=—[(бх + 3)sin(3jc) - (9х2 + 9х +1 б)сов(Зх)]+ С. гЗх3-З*2 + х-8
В этом интеграле подынтегральная функция представляет собой пра-вильную рациональную дробь (степень числителя т = 3 меньше степени знаменателя /1 = 4).
Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид
Зх* — Зх2 + х — 8 _ А В Сх + D (* + 1)У+4) Jf + l + (jc+l)2 Х2 + 4 Для нахождения коэффициентов /4,#,C,Z) разложения подыинтеграль- ной функции сумма простейших дробей приводится к общему знаменателю - (х +1)2 (jc2 + 4) , после чего числитель суммы приравнивается к числителю подынтегральной функции.
А В Сх + Р А(х + ijx2 + 4)+ д(г2 + 4)+ (Сх + Р\х +1)2 х + \ (x + l)2 л:2 + 4 (x + l)2 (к2 +4)
(А + С)х3 +(А + В + 2С + Р)х2 + (4А + С + 2Р)х + 4А + 4В+Р .
(x + l)2^2 +4) ’
(А + СУ +(А + В+2С + Р)х2 +(4А + С+2Р)х + 4А + 4В + Р =
= Зхг — Зх2 + х - 8.
Два многочлена считаются равными, если равны коэффициенты при всех соответствующих степенях х. По этому принципу составляется система линейных алгебраических уравнений относительно А,В>С>0:
А + С = 3;
>4 + 5 + 2 С + D = - 3;
4А + С + 2D = \;
4A + 4B + D = -S.
Решением этой системы являются числа /4 = 2,i? = -3,C = l,Z) = -4. Таким образом,


Зх3 — Зд:2 + JC - 8
(х + 1)2(с2 + 4) Jx + 1 +
■2|ф+,|+^4 - 2-re«(f) -
— 2\r\\x +1| + j + ^ln(x2 + 4)- Sarc/gf—l + С.

3.2. Приближенно вычислить с помощью формулы Симпсона интеграл
1,6
/= 1л/х + 2л:+ 5 Л:
0,8
для: 1)2л = 2;2)2л =4;3)2л = 8. Точность вычислений 0,0001.
Решение.
Как известно, формула Симпсона численного интегрирования имеет вид ъ ,
1 = J/М* <*-Ь>0 + Угп + 2 (у2 + Л+- + >2л-2)+ 4(у, + Л +••• + Л-i)],
а
где л=thN=а+А e i;y*=^ ) t=i»2—>2w) • 
1) . При 2п = 2=> A = (l,6-0,8)/2 = 0,4. Значения xs ,^(/ = 0,1,2) сведены в таблицу.
1 0 1 2
щ 0,8 1,2 1.6
У/ 2,66683 3,02126 3,50656

При этом / « —(2,66683 + 3,50656 + 4 • 3,02126)» 2,43446 » 2,4345.
2) . При 2я = 4=>й = (1,6-0,8)/4 = 0,2. Значения ^,^(1 = 0,1,2,3,4) дены в таблицу.
i 0 1 2 3 4
ш 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
У1 2,66683 2,82843 3,02126 3,24715 3,50656

При этом
I « ^[2,66683 + 3,50656 + 2 • 3,02126 + 4 • (2,82843 + 3,24715)]»
« 2,43455 и 2,4346.
3) . При 2л = 8 => А = (1,6-0,8)/8 = 0,1. Значения */,#(/ = 0,1,2,...,8) дены в таблицу.
i 0 1 2 3 4
щ 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
% 2,66683 2,74390 2,82843 2,92079 3,02126

/ 5 6 7 8
xi 1,3 1,4 1,5 W
ш 3,13002 3,24715 3,37268 3,50656

При этом / * Y [2,66683 + 3,50656 + 2 • (2,82843 + 3,02126 + 3,24715)+ + 4 ■ (2,74390 + 2,93079 + 3,13002 + 3,37268)] я 2,43455 * 2,4345.
3.3. Исследовать на сходимость несобственные интегралы.
13 , +00
'>■ Ь&г 2>- I:
-1
13
Подынтегральная функция
1
/(*)=
f dx f Л i f
JV2x + l J V2x + 1 J
л/2х + 1
терпит бесконечный разрыв в точке х = -1/2. Таким образом,
13 . -V2 * 13
-I
-I

Исследуем на сходимость каждый из несобственных интегралов в пра¬вой части последнего равенства.
-*/2 , *
f 3/ -=- lim f(2* + l)~^3*/(2x + l)= — lim ijfex + lf J v2jc+1 2c->-i/2-o J 7 v 7 ’
= - lim I V(2c +1)2 — 1
4c->-l/2-ol VV
13 13
f T7r=T =- Mm f(2x + l)“1/3j(2x + l)=- lirn \[(2x +1)
J V2x + 1 2c-»-i/2+o J 7 v 7 7
4c->-l/2+0
-1/2
= lim Г9-^/(2c + l)2
4C->-1/2+OL
Так как сходятся оба интеграла, то сходится и заданный интеграл
13 dx
= ~ + —-6
V2JC + 1 4 4 
В данном случае несобственный интеграл с бесконечной верхней грани-цей исследуется на сходимость следующим образом.
f_ff5. =1 ijm Г(зjc — 1) {^2dx(3x-l)= — lim л/Зх-1 J V3x — 1 3b->+co J 9 3b->+*>
= — lim (л/зb -1 - л/5)= +oo.
3 />-*+«о
Таким образом, данный интеграл расходится.
3.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = \г\х\у = 0\х = е (е« 2,718).
Решение.
Рассматриваемая фигура представлена на рисунке.

Площадь S этой фигуры находится с помощью определенного интегра¬ла следующим образом.
е е
S = Jinx-dx = x • lnx|f- Jdt = e*lne-1 -lnl-x
l
и = lnx dv = dx v = x = e- l —1-0 — (e — l)=l (ед.2). 
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Контрольная работа № 4. Некоторые приложения дифференциального исчисления функций одной переменной 1-10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(*) на за-данном интервале.
1. /(х)= х3 + Зх2 - 12х + 90;[- 4;5]. 2. /(х)= х3 - 9х2 + 24* -10 ;[0;3].
3. /(х)= Зх4 + 4х3 +1;[-2;l]. 4. /(х)=х3-Зх2 -105Х+25;[-6;6].
5. /(х)= 2х3 + Зх2 - 120х +100 ;[- 4;5]. 6. /(х)= 2х3 - Зх2 - 36х +6;[- 3;2].
7. /(х)=2х3 -9х2 +12х + 1;[О;2]. 8. /(х)=х4-8х2-9 ;[-1;3].
9. /(х)=9х + 3х2 +х3;[-3;2]. 10. /(х)=2х3 -12х2 +18х + 3;[-1;2].
11. Из куска проволоки 30 см длиной требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?
12. На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с про-межутками между строк) 192 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 4 см, левое и правое - 3 см. Если принимать во внимание только экономию бу¬маги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
13. Периметр прямоугольника равен 12 см. Найдите стороны прямо-угольника так, чтобы его диагональ была наименьшей.
14. В круг радиуса 8 см вписан равнобедренный треугольник наиболь¬шей площади. Найдите его стороны.
15. В полукруг радиуса 10 см вписан прямоугольник наибольшего пери-метра. Найдите его размеры.
16. Определите размеры открытого бассейна объемом V =32 м3, имею¬щего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на обли¬цовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.
17. В полукруг радиуса R вписана трапеция, основание которой совпа¬дает с диаметром наибольшего периметра. Найти стороны трапеции.
18. В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найти длины сто- 20
рон прямоугольника, если катет равен 10 см и прилегающий к нему угол ра¬вен 30°.
19. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса 10 см, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
20. В равнобедренный треугольник с периметром 16 см и высотой 4 см, проведенной к основанию, вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти размеры прямоугольника.
21-30. Исследовать функцию у- f(x) и построить ее график.
2х3 + 1 _ х2 - 4х +1
21 = 1. 22. у-
х-4
•м х *,л 9 + 6х-Зх
23. у = — . 24. у = —
х +3 х — 2х +13
ос х*+4 ^ ..... х-1
25. у = —г—. 26. у =
(x + l)2
27. у = —28. у =
х2 +4 х2 +2х
4-х3 х5
2 —‘ J 4 л ’
X X — 1
31-40. С помощью графического метода найти интервал (a,b), на котором находится действительный корень х * данного уравнения. Пользуясь методом Ньютона, получить приближенное значение корня с точностью до 0,001.
31. х3 -х + 3 = 0. 32. х3-х-4 = 0.
33. х3+4х-3 = 0. 34. х3 — 2х + 5 = 0.
35. х3 + 2х-3,3 = 0. 36. х3+Зх +2.2 = 0.
37. х3-Зх + 5,8 = 0. 38. х3 + 2х —7 = 0.
39. х3+4х-2,5 = 0. 40. х3-2х-5,7 = 0.
Контрольная работа № 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его некоторые приложения
41-50. Для заданной функции z = f(x,y) найти z'x ,zy ,dz ,zxy ,zyx.
/ \
41. z = arctg x + У . 42. z = ln(x2 + y2
\*-y)



U-xy)
47. z = ln(fg(jc + j>)). 48. z = Jycosx.

50. z=iexln(#4-j?).
51-60. С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относи-тельную погрешность вычислений.

61-70. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f{x,y) в замкнутой области D.
61. z = 3х + у — xy. D:x = 0;у = х;у = 4.
62. z = ху — х — 2у. D:х = 3;у = х;у = 0.
63. z = x2 + 2ху-4х + 8у. D:x = 0;х = 1;у = 0;у = 2. 
64. z = 5x2 -Зху + у2. D:x = 0\x = l\y = Ъ\у = \-
65. z = x2 + 2ху -у2 -4x.D:x = 3;y = 0;*- у +1 = 0.
66. z = x2 + у2 -2х-2у + 8. D:x = 0\у = 0;х+ у -1 = 0.
67. z = 3х + 6у - х2 -ху-у2. D:x = 0;х = 1;^ = 0;у = 1.
68. z-x2 - 2у2 + 4ху-6х-\. D:x = 0;y = 0;x + у-3 = 0.
69. z = ху-2х — у. D:x = 0;x = 3;y = 0;у = 4.
у2
70. z = ——xy.D:y = 8;y = 2x2.
2
71-80. Экспериментально получены пять значений функции д> = /(х) при пяти значениях аргумента jc, которые представлены в данной таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у = ах + Ь, описывающую приближенно (аппроксимирующую) экспериментальные данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат постро¬ить экспериментальные точки Мt-(хi3уи график аппроксимирующей функ¬ции у = ах + Ь.
71.
*1 1 2 3 4 5
У1 7,3 8,3 6,8 4,8 5,3

72.
% 1 2 3 4 5
У( 5,3 6,3 4,8 3,8 3,3

73.
1 2 3 4 5
Уг 7,4 8,4 6,9 4,9 5,4

74.
*i 1 2 3 4 5
Ух 6,5 7,5 6 4 4,5


1 2 3 4 5
Д'/ 6,4 7,4 5,9 3,9 4,4
76.
*/ 1 2 3 4 5
Д'/ 5,7 5,2 7,2 8,7
«# 7,7
77.
1 2 3 4 5
У/ 4,6 4,1 6,1 7,6 6,6
78.
*/ 1 2 3 4 5
Й 6 7 5,5 3,5 4
79.
1 2 3 4 5
Л 3,3 2,8 4,8 6,3 5,3
j Ю.
& 1 2 3 4 5
Л 7,4 8,4 6,9 4,9 5,4

Контрольная работа № 6. Интегральное исчисление функций одной
переменной.
81-90. Найти интегралы.
1 xdx
2).
о V*4 +16
4). Jcos4xrfx.
я/2

2). jx2 cos(2x)d!x.

лс2 +1 x3-*2
Ф . . 86. 1). fsmjcA
cos4 JC
0
4) . [sin3jn&.
яг/2
2) . jarccos(2.x)d!x.

dx xln2x

■x3 - Зх2 -4 x4 — 4x2
dx
XCOS2(lnx)
2x3+x2 +2x —1 x4-l
я/2
COSXC&
i). N
У ci
sin x + 4
•X3 -x2 +2 x4 + x2
о
4>J:
Wx + 1 + 2
Л
2). JJCITI2 .
x/6
4) . jcos3xd!x о
2). |(Х2+5УЛЛ:.
4) . ШЬ2-А. J V5x + 1


91-100. Приближенно вычислить данный интеграл по формуле Симпсона для: 1) 2й = 2;2)2л = 4;3)2л = 8.
1.2 1
fV2 + 3x + x3 dx. 92. Гл fa + x2-х3 dx.
0,4 0,2
1,4 1,6
f\/5 —2х + х3 d!x. 94. Гл /l2- 2х2 -х3 dx
0,6 0,8
1,8 2
Гл/1 + 5х-х3 dx. 96. Г\ '3 + х2 +х3 dx.
1 1.2
1,6 1,4
1Уз-х + х3 <&. 98. Гм 1\0-5х2 +х3 dx.
0,8 0,6
1 1,2
Гл/4ч-Зх-х3 rfx. 100. Гл /4 + Зх2 -х3 dx.
0,2 0,4
93.

101-110. Исследовать на сходимость несобственные интегралы.

111-120. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
111. ^ = sin3.х;.у = 0(0£.х£;г). 112. y = cos2 х;х = 0уу = 0(0£х£я/2). 113. y = arctgx;y = 0;лг = 1. 114. y = tgx;y = 0;х = я/4.
115. y = s\n2х;у = 0;х = тг/2. 116. y = cos3х;у = 0;х = 0(0<х<тг/2).

117. y = ctgx;y = 0;* = лт/4. 118. ^ = — ;y = 0;x = e.
x
119. y=x arctgx;y = 0;x = 'fi. 120. y = tg3x;y = 0;x = x/4.
Литература
Шнейдер B.E. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для втузов/ В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. - М.: Высш. школа, 1972. - 640 с.
Содержание
Стр.
Введение м ... з
1. Некоторые приложения дифференциального исчисления функций одной переменной 3
2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его некоторые приложения 8
3. Интегральное исчисление функций одной переменной 13
Задачи для контрольных заданий 20
Литература 28
Подписано в печать / 2WS. Усл.печ.л. it 7S% Тираж 2 SS. Печать офсетная. Бумага офисная. Заказ№ ч53.
Отпечатано: РИО ВоГТУ, г.Вологда, ул.Ленина, 15
количество слов: 2280

Вернуться в «Алгебра и Геометрия»