Страница 1 из 1

Математика

Добавлено: Вс мар 24, 2019 15:10 #1
Артём Мамзиков
Решенный 7 вариант
1.PNG
1
2-1.PNG
2-1
2-2.PNG
2-2
3.PNG
3
4.PNG
4
5-1.jpg
5-1
5-2.PNG
5-2
6.PNG
6
7-1.jpg
7-1
7-2.jpg
7-2
8.PNG
8
8-2.PNG
8-2
9.jpg
9
10.PNG
10
11.jpg
11
12.PNG
12
13.PNG
13
14.PNG
14
15.PNG
15
15-2.PNG
15-2
16,17.PNG
16,17
18.PNG
18
19.PNG
19
Методичка распознана через ABBYY FineReader 11
И просто перегнана в текст для подхвата поисковыми системами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей (1 семестр)
Факультет заочного и дистанционного обучения Специальности: 140211,220201,151001,190601,270102,270112 Направления: 151000
УДК:511.147:511.61/62
Математика: Методические указания и контрольные задания для сту¬дентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей (1 семестр). - Вологда: ВоГТУ, 2009. - 36 с.
В методических указаниях приведены правила выполнения и оформле¬ния контрольных работ, контрольные задания, образцы решения работ и крат¬кий справочный материал.
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Составители: А.Б. Назимов - канд. физ.-мат. наук, доцент;
Н.О. Менухова - ассистент;
Л.Ю. Чекулаева — старший преподаватель;
И.В. Шкутина — ассистент
Рецензент: О.И. Микрюкова - канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой высшей математики ВоГТУ
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживать¬ся указанных ниже правил.
1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, в двойном номере которого вторая цифра совпадает с последней цифрой его шифра
- номера его зачетной книжки.
2. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клеточку чернилами синего или черного цвета.
3. Образец оформления титульного листа (обложки) тетради приведен на доске объявлений деканата ФЗДО.
4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Рабо¬ты, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.
5. Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контроль¬ной работе.
6. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
7. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и моти¬вируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (ри¬сунки).
8. Компьютерное оформление работы не рецензируется.
9. Возвращенная прорецензированная незачтенная работа исправляется сту-дентом; исправление записывается в конце работы. Вносить исправления в проверенный текст работы - запрещается. 
Введение
Настоящие методические указания служат руководством для студентов - заочников при выполнении контрольных заданий, запланированных в 1 учеб¬ном семестре. С их помощью студент - заочник сможет самостоятельно разо¬браться в основных типах задач и справиться с выполнением контрольных за¬даний.

Контрольная работа №1. Элементы линейной алгебры

Задание 1.1. Вычислить значение функции /(г0),если .. ч (2 + 3i)z + (3 +1 li) , rz
/(z) = — —r , z0 = -1 + 3iV2 . Ответ представить в тригонометри-
(-! + *> +(—3 —i)
ческой форме.
Решение
Числа вида a+bi называются комплексными числами, где / = V-T, i2 = —1. Действия сложения, вычитания и умножения комплексных чисел выполняются по обычным правилам действий с многочленами. Подставим значение z0 в дан¬ную функцию.
Выполним действия в числителе и знаменателе полученной функции, предварительно вычислив
(-1 + 3 /)2 = (-1)2 + 2 • (—1)-(3*) + (3 О2 = 1 — 6» — 9 = -8 — 6i.
Получим
(2 + 3/Х-1 + 3i) + (3 + 1 li) _ -8 + 14/
(-l + »K-8-6i) + (-3-i) 11 - 3i '
Чтобы выполнить деление комплексных чисел, умножим числитель и зна-менатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на (11 +3i), получим
. (-8 + 14iXl l + 3i) -130 + 130/ , .
/(Z 0) = - — - = = -1 + /.
0 (11 - 3ixi 1 + 3/) по
Назовем число /(z0) = w, w = -l + i.
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: w = |n'|(cos(arg iv) + i sin(arg w)),
где |w| -модуль комплексного числа w = x + iy, |и>| = -Jx2 + у2, argw - главное значение аргумента комплексного числа,
arctg(—), х > 0 х
arclg(-) + л, х < 0, у > 0 х
arctg(—)-я, х <0, у <0 х
-,х = 0, у>0 2
--,х = 0, у<0 2 
Для полученного комплексного числа w = -1 + /, лг = -1,>> = 1, |w| = V2,
arg w = arctg(-1) + 7i = —— + тг = —. Тогда число w в тригонометрической фор- 4 4
ме для нашего примера будет иметь вид: w = ~J2(cos— + /sin—).
4 4
Ответ: /(z0) =-N/2(COS— + /'sin—).
4 4
Задание 1.2. Найти .V из матричного уравнения
" 1 2 Г '-5 5' '-3 3 ” О
3 1 -1 Х + 2 3 -6 -5 1 -2 = 0 0
-1 1 2, ГО
00
1 ,-4 2, О
О

Решение
Запишем уравнение в матричной форме АХ + 2 В - 5С = 0, где
' 1 2 Г '-5 5' '-3 3' О
О
А = 3 1 -1 в = 3 -6 , с= 1 -2 , о= 0 0
-1 1 2, ,-8 3, 1
-fc.
Ю О
О

г—5 5' '-3 3' О
7
о '-15 15 4 -5 5Л
3 -6 + 5 1 -2 = -6 12 + 5 -10 = -1 2
’Ч
СП
00
1 ,-4 2, ,16 -6, О
О
сч
1 -4 4
V
Преобразуем уравнение к виду ЛХ = 0 - 2В + 5С и вьшолним действия с матрицами в правой части
-2
Г-5 5^

-1 2 ."4 4,
АХ = D.
Умножим обе части равенства слева на А'1, получим A~lAX = A~lD.
С учетом того, что А~'А = £, решением уравнения будет X = A 'D, где А~‘ - матрица, обратная матрице А.
Если определитель матрицы А отличен от нуля, то она имеет обратную, которая имеет вид:
|Ч 4. V
^12 ^22 ^32 к. 4] ^23 ^ЗЗу
Обозначим полученную матрицу /} =
где \Л\ - определитель матрицы А,
А1/ - алгебраическое дополнение элемента atj матрицы А . Для данной матрицы:

Задание 1.3. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Г1 -2^
А = I 6 ^ I линейного преобразования вектора и составить ее каноническое разложение.
Решение
Ненулевой вектор й называется собственным вектором матрицы А, если существует число Л такое, что выполняется равенство: Аи = Хй (1).
Число Я, участвующее в этом определении, называется собственным чис¬лом, отвечающим данному вектору. Пусть
Чй-М.
1«2| «22) W тогда равенство (1) после преобразований будет иметь вид:
Uau-X)x + a,1y = О |а2|дг + (аг2 - Л)у = О Это линейная однородная система двух уравнений с двумя неизвестными. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточ¬но, чтобы ее определитель был равен нулю.
= 0.
Это уравнение называется характеристическим. Его корни являются соб-ственными числами. Зная собственные числа, можно найти собственные векто¬ры. Составим характеристическое уравнение данной матрицы А
1-Я -2
= 0 => (1-Я)(8-Я) + 12 = 0 => А -9Л + 20 = 0.
6 8 — Я
Корни этого уравнения Л, = 4 и Я, = 5 являются собственными числами линейного преобразования матрицы А.
Для отыскания собственных векторов составим систему уравнений ((1 - Х)х — 2у = 0 {б* + (8-Я)>< = 0’
Полагая Я = Я, = 4, получаем систему уравнений для первого собственно¬го вектора й,
j 3а илм Здг + 2^ = 0.
(бдг + 4_у = 0
Положив х = 2, получим у = -3, то есть первым собственным вектором
У-
Полагая Я = Л2 = 5У получим систему уравнений для второго собственного вектора и2
(~4х - 2 у = 0 - „
L ^ л или 2дг + у = 0. |6x + 3y = 0 л
Положив jc = 1, получим у = — 2, то есть вторым собственным вектором

Составим каноническое разложение матрицы А:
A = UDV'\ 
где U - матрица, составленная из собственных векторов , U '— обратная к ней матрица, D - диагональная матрица из собственных чисел.
uJ2 М; Ц"»
{-3 -2J uJ
Д ,2| = 2(-2)-(-3)1 = -4 + 3 = -1; Uu = (-1)w(-2) = -2;
1; С/12=(-1)м(-3) = 3; Un = (—1)2*22 = 2.
и-'=-(~2 -'У2 М.
[з 2) {-з -г) (2 1Y4 0V2 П {-3 -2){о 5 Д-3 —2)
Ч-з)'
_ ( I Л f2 1Y4 0V2 П
м2=1 ^ I; каноническое разложение: А = I ^ 2II 0 5 Л 3 2)
Задание 1.4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
5дс, - 2дг2 + Здс3 = 8
• — 2х, + 2х2 - З*3 = —8 Зле, — Зх2 + 2х3 — 7.
Решение
Если А - главный определитель матрицы, составленный из коэффициен¬тов при неизвестных системы, а Д;- вспомогательный определитель, получен¬ный из главного заменой у'-го столбца столбцом свободных членов, то при А*0 система имеет единственное решение, определяемое по формулам
Д,
•ху= д U = 1,2,...и). Эти формулы называются формулами Крамера. Для нашей системы
5 -2 3
Д = -2 2 -3 = -15;
3 -3 2
8 -2 3 5 8 3 5 -2 8
д.= -8 2 -3 = 0; д2 = -2 -8 -3 = 15; Д,= -2 2 -8
7 -3 2 3 7 2 3 -3 7
Х\ = 0 = 0 х2 = Д 2 15 _ -1; *3
Д -15 д “ -15 Д —
= -30;
-2.


Решение системы (0; -1; 2).
Сделаем проверку, подставив найденные значения в систему 5-0-2 -(-1)+ 3- 2 = 8 [8=8
• -2-0+2-(-1)-3-2 = -8 => • -8 = -8
3- 0-3-(-1) + 2-2 = 7 [7 = 7.
Итак, найденное решение обращает уравнения в верные равенства.
Ответ: (0; -1; 2).
Задание 1.5. Исследовать систему уравнений на совместность. В случае совместности найти ее решение при различных способах выбора базиса.
х, + 2Х2 + 2хъ - дг4 = -3 2дг, - 2дг2 + х3 + Здг4 = 3 Зх, - х2 + 2х3 + 2xt = 1 3jc, — 2дг2 + х3 + 2х4 = 2.
Решение
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Рангом матрицы называется наивысший порядок минора, отличного от нуля. Чтобы найти ранг матрицы, преобразуем расширенную матрицу системы А, методом Гаусса. Расширенная матрица состоит из коэффициентов матрицы А при неизвестных и столбца свободных членов.
Чтобы исключить дг, из второго, третьего и четвертого уравнений систе¬мы, прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (-2), к третьему уравнению первое, умноженное на (-3), а к четвертому уравнению первое, ум¬ноженное на (-3).
(\ 2 2 -1 -3^ '1 2 2 -1 -3>|
2 -2 1 3 3 0 -6 -3 5 9
3 -1 2 2 1 0 -7 -4 5 10
-2 1 2 2, 1° -8 -5 5 llj

Новое второе уравнение разделим на (-6), затем исключим хг из третьего и четвертого уравнений, для этого прибавим к третьему уравнению второе, ум¬ноженное на 7, а к четвертому - второе, умноженное на 8.
'12 2 -1 -3 ' '12 2 -1 -3 >
0 1 3/6 -5/6 -9/6 —S 0 1 1/2 -5/6 -3/2
0-7-4 5 10 —? 0 0 -3/6 -5/6 -3/6
ч0 -8 -3 5 и J 0 0 -6/6 -10/6 -6/6,

Новое третье уравнение умножим на (-2), затем исключим из четвер¬того уравнения, для этого к четвертому уравнению прибавим третье уравнение. Получили уравнение, все коэффициенты которого равны 0. 
(1 2 2 -1 -3 ' (1 2 2 -1 -з 4
0 1 1/2 -5/6 -3/2 —N 0 1 1/2 -5/6 -3/2
0 0 1 5/3 1 —V 0 0 1 5/3 1
0 -1 -5/3 -1 J 1° 0 0 0 0 ,

Отсюда видно, что ранг матрицы А равен 3, г(А) = 3. Ранг расширенной матрицы А| тоже равен 3, г(А,) = 3. г(А) = г(А,), следовательно система совме¬стна. Так как и = 4, п>г, то система имеет множество решений. n-r = 1, сво¬бодная переменная только одна. Оставим в левой части переменные дс,, дс2,дс3, которые берем за базисные и перенесём переменную х4 (свободную) в правую часть.
{х, + 2хг + 2дс3 = — 3 + дс4
*2 - Х}=-1
З*3 = 3 - 5дс4
х3 — 1 ^ л4
х2 = —I + дс3 = —2 + уДС,
х1 = -3 + л4 - 2Х2 - 2х3 = дс4 -1.
Решением системы в базисе дс,, х2,х} будет
Х|=Х4-1 хг = —2 + — дс4
Х3 = I - дс4 е R.
Сделаем проверку найденного решения, подставив его во все уравнения исходной системы.
^4_l + 2(-2 + |x4) + 2(l-|x4)-x4=-3 2(х4 -1) - 2^-2 + |дс4) +1 -1*4 + Зх4 = 3 3(*4 - О ~ (-2 + §*4) + 2(l - f дс4) + 2дс4 = 1
3(дс4 -1) - 2^-2 + |дс4) +1 - |дс4 + 2*4 = 2.
Итак, найденное решение обращает все четыре уравнения в верные равенства.
В дальнейшем проверка не приводится, но должна выполняться для каж¬дого полученного решения.
Найдем решение системы в базисе хг, дс3,х4. Для этого из полученного решения выразим х4 = дс, + I и подставим в выражения для дс2 и х3, получим 
хз -~з(*1 + l) + l = -
дг4 = jc, +1.
Решением системы в базисе хг, х,,х, будет
х,
-ч 3*. з
х,=-1х -1 ■*э 3 3
х4 = дг, +1.
Сделать проверку полученного решения.
Найдем решение системы в базисе х3,дг4. Выразим х, = j х2 +у и под¬ставим в выражения для х, и х4, получим
* +1 ■*i 5 5
Л4=(|^2-|-у) + 1=|^+|- Решение системы в базисе дг,, х3, х4 имеет вид
+1
1 5 2 5 х2 е /? х3=-д;2-1 3 6
•*4 - 5 *2 + 3 •
Сделать проверку полученного решения.
Найдем решение системы в базисе дг,, х2, х4. Вьфазим х2 = -дс3 -1 и под-ставим выражения для х, и xt, получим
= 2(_* _iul—1х
I 5 V л2 / 5 5 5
Решением системы в базисе дг,, x2,xt будет 
х =-2* -2
1 5 2 5
*2 = -*3 -1
л3 6 Л
х = -1* +1 JC4 5дг2 + 5-
Сделать проверку полученного решения.
j:, е R 3^1 3
5 1 1 = 5 Т *1 = “J*2 -
*2 = 3*1-3 x2eR *2 =-*3-1
5 2’ х, = —х, — 1 ’ дгз е Л
*з- з*1 з 3 2
3 . 6 3
дс4 = л, +1 *4 5 *2 + 3 *4 =-5 *2 +
Ответ: система уравнений совместна. Решение системы при различных спосо¬бах выбора базиса:
3 5"

Контрольная работа № 2.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии


Задание 2.6. Найти угол между векторами си d, если |я| = 3, |й | = 4,
,Ъ j = ~~i с = 23 + 3b , d = -4a -3b .
Решение
Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число, рав¬ное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Из определения скалярного произведения
cos
Найдем с - d , |</|, |с]. c d = (2a+3b)-(-4a-3b) = -Sa a-\2b а-ба-Ь-9Ь Ь = -852 —18а-Ь -9Ь2, где а2 = |а|2 = З2 = 9, А2=|*|2 = 42 = 16, o-F = |^|ZT|cos^j = 3-4^--ij = -6. С учетом этого
с-<7 =-72+108-144 = -108,
|c| = VF = sj{2a+ 3ft)2 = yj4a2 + 12a • b + 9b2 = V36-72 + 144 = Vl08 = 6>/3, |J| = V^r = V(-45-3*)2 =Vl652 + 24afc+9F2 = Vl44-144 + 144 = 12. Косинус угла между векторами с и d равен
Задание 2.7. Даны координаты вершин пирамиды А0А]А2А}. Найти:
1) длину ребра А0АХ\
2) угол между ребрами AvAi и А0А1 с точностью до целого градуса;
3) угол между ребром А^А, и гранью А0А1А1 с точностью до целого градуса;
4) площадь грани А0А,А2 с точностью до 0,001;
5) объем пирамиды;
6) длину высоты, опущенной из вершины А} на грань А<1.41А2, с точностью до 0,001;
7) уравнение ребра АВА3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины Я, на грань АеА1А2;
9) уравнение грани А0А,А1.
4>(-5;-2;-4), Л,(-1;4;1), Аг(-3;5;-2), Л3(1;5;-6).
Решение
А, Для решения задачи введем векторы:
^Л={4;6;5}, 4Д={2;7;2}, Л^ = {б;7;-2}.
1) Длина ребра А^А{ равна длине вектора А^А,, т.е. |дД] = >/42 +62 + 52 =>/77 «8,775.
2) Найдем косинус угла щ между ребрами A11Ai и А0А2 как косинус угла между векторами A<JAI и А0А2, используя определение ска¬лярного произведения
Так как
А^АгА^42 = 4-2 +6-7+ 5-2 = 60; |дд| = V22 + 72 + 22 =л/57 *7,55;

3) Синус угла <р2 между ребром AVA3 и гранью А0А]А1 равен модулю косинуса угла между А„А3 и нормальным вектором плоскости AQAtA2, который находит¬ся с помощью векторного произведения векторов
= -23/ + 2J + 16* = {-23; 2; 16},
MW

Так как
Д,Л3^ = 6-(-23) + 7-2 + (-2) 16 = -156;
|д,/43| = V6' + 72 + (-2)г = V89; р| = V(-23)2 + 22 +162 = >/789 ;
• 156 л ,ял я,,
Sin y>; = Ji&9 a * ^ ^г^Зб.
4) Площадь грани AVAIA2 находится по формуле
S = Ipv| = -V789 = 14,045.
2' 1 2
5) Объем V пирамиды Л0Л1Л2Л3 находится через абсолютную величину сме-шанного произведения векторов АаА1, АиАг, А^А,.
4 6 5
^ = 1|4ЛхД^-^| = 1
1=~|—15б| = 26.
2 7 2 '67-2
6) Длина высоты, опущенной из вершины А, на грань АпАхАг, находится из формулы

ЗУ 3-26
= 5,554.
14,045

7) Канонические уравнения прямой А^А, записываются в виде
•*-*! = У~У, ^ z-z,
Уг~У\ z2 -zi
где Xj, у,, z, - координаты точки Аи, а х2, у2, z2 - координаты точки А,.
Таким образом,
* + 5 у+2_ z + 4
6 ~ 7 -2
8) Канонические уравнения высоты, опущенной из вершины А} на грань A0AiAt, имеют вид
_ -У-:Уо _ г-20 т п р
где х0, _у0, г0 - координаты точки А,; т,п,р- координаты направляющего век- 
тора прямой. Направляющим вектором может служить вектор нормали к плос-кости N = {—23; 2;1б}.
Тогда
х-1 у-5 2+6 -23 ~ 2
- канонические уравнения высоты.
16
9) Уравнение плоскости Д,ДД имеет вид
*-*о У~Уо
= 0,
*1 *0 У\ У о г1 “о *2-*о У2-У0 zi-z„ где (*о, Уо> 2о) - координаты точки Д,; (дс,, ух, г,) - координаты точки Д; (дс2, у2, z2) - координаты точки А2.
Таким образом,
дс + 5 у + 2 z + 4 х + 5 у + 2 z + 4
-1 + 5 4+2 1 + 4 = 0 => 4 6 5
-3 + 5 5 + 2 -2 + 4 2 7 2
= 0

—23(х + 5) + 2(у + 2) + 16(г + 4) = -23дс + 2у + 16г — 47 = 0 или 23дс-2>»-16г + 47 = 0.
Сделаем проверку полученного уравнения, подставив координаты точек Д, Ах, Д в это уравнение.
23 • (-5) - 2 • (—2) -16- (-4) + 47 = 0 23-(-1)-2-4-16-1 + 47 = 0 23 • (—3) - 2 • 5 -16 • (—2) + 47 = 0.
Получены верные равенства, значит, уравнение плоскости составлено верно.
Ответ: 1) |дд| = 7^*8,775; 2) ^ «25*; 3) <р2»36'; 4) 5 = ^>/789 = 14,045;

9) 23дс - 2у -16z + 47 = 0.

Задание 2.8. Даны координаты вершин тре-угольника ABC. Составить уравнение медианы AD, высоты BE и биссектрисы CF этого треугольника.
,1(2;-9), В(-6;7), С(4;2).
Решение.
Чтобы контролировать правильность решения, изобразим треугольник ABC на координатной плоско¬сти, отметив его вершины и соединив их отрезками прямых. Также проведем медиану AD, высоту BE и биссектрису CF, руководствуясь определениями ли¬ний.
1) Координаты точки D - середины отрезка ВС находятся по формулам
i+*Lo^+i-_l; y = h±b. = l±l= 4>5; £>(-1;4,5),
2 2 2 2 где х1,у1 - координаты точки В и х2,у2 - координаты точки С.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид У~Ул Х~ХА Уо-Ул XD~XA Тогда уравнение медианы AD
= или 9х + 2у = 0 (AD).
4,5+9 -1-2
2) Найдем угловой коэффициент прямой АС .
к у<-у* 2+9 11 *(--*, 4-2 2
Высота BE перпендикулярна прямой АС, тогда
к ш L„_i
“ клс И
Уравнение прямой BE найдем в форме уравнения прямой, проходящей через точку В с заданным угловым коэффициентом кт
У-Ув = квЕ^х~хв)>
то есть в виде
>’-7 = --j^(jc+ 6) или 2х + 11у — 65 = 0 (BE).
3) Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует , что
\AB[.\FB\=\AC\-.\BC\.
|ЛС| = д/(4-2)г + (2 + 9)2 =-Л25=5ч/5; |ВС|=V(4 + 6)2 +(2-7)* =л/125 = 5>/5. Следовательно,
д Ucj.Ws
|бС| W5
то есть точка F - середина отрезка А В и координаты точки
х^ = хА^хАш_2. у, = У4+Увш-1; F(- 2;-1).
Уравнение биссектрисы CF
У~Ус _ *~*с '
Уг-Ус XF хс
= „ли х-2у = 0 (CF).
-1-2 -2-4
Ответ: 9х + 2у = 0 (AD), 2х+ 1l.y-65 = 0 (BE), х-2у = 0 (CF).

Задание 2.9. Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки А(0;л/5 ) к расстоянию до прямой
У V5v-9 = 0
А М(х,у)
X
По условию задачи

r = J(x-0)2 +(y-Js)2 =yjx2+(y-j5)2 . г yfs ^ + (у-^5)2 Д
— = ИЛИ ; i — = .

-у\
Возведем в квадрат обе части уравнения.
9(х2 + у2-2\[5у + 5) = 5^у - + /j
9х2 + 9у2 — 18V5_v + 45 = 81 — 18-^5>> + 5у2 =>
9х2 + 9у2 — 1 SyfSy +1 %у/5у - 5у2 = 81 — 45 =>
х2 v2
9jc2 + 4 V2 = 36 => — + — = 1.
4 9
Получили каноническое уравнение эллипса.
Вершины эллипса : (2;0), (-2;0), (0;3), (0;—3). Чтобы изобразить эллипс, отметим его вершины на координатной плоскости и соеди¬ним их плавной линией.

Задание 2.10. Найти точку М', симмет¬ричную точке М(-6;-3;9) относительно плос-кости («•): 8x-8><-2z + 9 = 0.
Решение
Нормальный вектор данной плоскости имеет координаты N= {8;-8;-2}. Любая прямая, проходящая через точку М перпендикулярно плоскости, будет иметь вид 
*-*! У-УI г-г, т п р
где а = {т,п; р) - направляющий вектор, коллинеарный вектору N. В качестве вектора а примем вектор а = {4;-4;-1}. Тогда уравнения этой прямой имеют вид:
дг + 6 _ у + 3 _ г —9
4 -4 “ -1
Найдем проекцию точки М на данную плоскость, решив совместно урав¬нения
0 „ . _ » х+6 у+3 2-9
8дс - 8 у - 2г + 9 = 0 и = — = .
4-4-1 Запишем уравнения прямой в параметрической форме
Гдс= 4f — 6
\у = ~ 4/-3
[2 = -/ + 9.
Подставляя эти выражения для х,у,: в уравнение плоскости, получим f = ^. Тогда дг = -4, > = -5, 2 = 8,5. (2(-4;-5;8,5).
Координаты симметричной точки найдутся из формул координат середи¬ны отрезка
хи + дс,,.
XQ - => хм. — 2Хд — хм => — —2.
Аналогично = -7, zw. = 8. Получаем точку М'(-2;-7;8) .
Ответ: А/'(-2;-7;8) .
Справочный материал для выполнения задания 2.9
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние между фокусами равно 2с. Каноническое уравнение эллипса
■^r+Tf = 1. где b-yja2 -с2 . а Ь
Если фокусы эллипса расположены на ОХ, то а>Ь\ если фокусы распо¬ложены на ОУ, то а <Ь.
Для изображения эллипса построим прямоугольник со сторонами 2а (по оси ОХ ) и 2Ь (по оси OY) и с центром в начале координат. В полученный пря¬моугольник впишем эллипс. 

са находится в точке (от,л).

Г ипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых раз¬ность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фоку¬сами, есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние между фокусами 2с
(а<с).
Каноническое уравнение гиперболы
г1 V2 / г
— Г = ±1, где Ь = \]с2 -а2 . а" Ь
Если фокусы гиперболы расположены на ОХ, то '+1', если фокусы рас-
X2 V*
положены на OY, то —Г. Гипербола с уравнением —j— -^- = -1 называется
У2
сопряженной к гиперболе с уравнением —-г - ^ = 1 .
а b
Для изображения гиперболы построим прямоугольник со сторонами 2а(по оси ОХ) и 2 b (по оси О У) и с центром в начале координат. В прямоугольнике проводим диагонали (с про¬должением), которые являются асимптотами ги¬перболы, вершины которой находятся в точках (о,0) и (-а,0). Ветви гиперболы с уравнением
х2 у2
= \ проходят через точки (а;0) и (~а;0).
а Ь
Ветви сопряженной гиперболы проходят через точки (О;Ь) и (0;-Ь).
Если уравнение имеет вид
(.х-т)2 СУ~»)г а2 Ь1
то центр гиперболы находится в точке (т,п).
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из кото¬рых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо- 
кусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой

директрисой. Если координаты фокуса F

х = ~2' то каноническое уравнение параболы у2 -2рх задает параболу с вер¬шиной в начале координат, симметричную относительно оси ОХ. При р> О ветви параболы направлены в положительном направлении оси ОХ, при р < О
- в противоположную сторону.
Если координаты фокуса F
уравнение директрисы у = ——, то ка¬ноническое уравнение параболы х2 =2ру задает параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси OY. При р> 0 ветви параболы направлены вверх, при р < 0 - вниз.

Контрольная работа №3. Введение в математический анализ

Задание 3.11. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
a) lim/(x),6) lim f(x), в) lim f(x), если f(x) =
Решение
7х3 - 9х2 - Зх + 5 "^9х3-17х2 + 7х + 1
Выражение под знаком предела содержит неопределенность _. Чтобы
О
раскрыть эту неопределенность, разложим на множители числитель и знамена¬тель дроби. Для этого разделим их на (х-1), то есть на множитель, который обращает их в ноль.

Получим
|im(x— IX7^-Z,-5).lim(7x»-2,-5)
(х - 1)(9х2 - 8х -1) *-* (9х2 - 8х -1) ’
После сокращения на множитель х-1 снова имеем неопределенность £ и
О
еще раз раскладываем на множители числитель и знаменатель полученной дро¬би, используя формулу:
ах2 + bx + с = а(х - х,)(х - хг),
где х, и х2~ корни соответствующего квадратного уравнения.
(х-1)(7х + 5) 7х+ 5 12 6 Получим lim- — = lim = —= —.
(х-1)(9х + 1) *-*• 9х +1 10 5 7х3 — 9х2 - Зх + 5 -7-9+3+5 -8 1
б) lim
*-*-* 9х3 — 17х2 + 7х +1 -9-17-7 + 1 -32 4'
v 7х3-9х2-Зх + 5
в) Наити lim—; - .
*'-**■ 9х -17х +7х + 1
00
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида —. Для
00
раскрытия этой неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени, то есть на х3.
9 __3_ 5 ,im х хг+хТ 7-0-0 + 0 7
~-q_1Z.uJL.u_L 9-0 + 0 + 0 9' х х2 х3
Ответ: а)—; б)—; в)—.
5 4 9

Задание 3.12. Найти lim -2xl— * ^ .
*-*'5 4-V41-X2 Решение
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида ^. Для
раскрытия неопределенности, в этом случае, следует домножить числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные как числителю так и знамена¬телю,то есть на 2х2-1 + >/9-8xj|4 + V4l-x2j.
Получим
((2х2 -1) - (9 - 8х))( 4 + л/41 - х2 ) (2х2+8х-Ю)(4 + л/41-х2)
lim ; . \ = lim ■ : у =
5(l 6 - (41 - х2))(>/2jc2 — 1 + >/9-8х) (х2 - 25)(-Jlx1 -1 + >/9-8х)


2(х + 5)(х -01 ^4 + N/41-X2 j 1 -6-2-8
(х + 5)(х-5)| [ч/2х2-1 + >/9-8х] | -10-14
24
35

Задание 3.13. Найти lim ^slnjc + 1 м- £ Ctgx + 1
Решение
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида ^. Для
раскрытия неопределенности введем новую переменную 1 = х-| —- |, Следова¬ла _
тельно х = / - —. При этом / -* 0.
Выразим через новую переменную sinjr
. (А яЛ л .я >р2, . ч
= sin / sin г cos cos / sin— =—(sin/-cos/);
I 4) 4 4 2 V ’

^(siiw-cosr)
sin Получим
V2
>/2—(sin/-cos/) + I (sin/ - cos/ + l)(sin/ - cos/)
lim = lim-1 — L .
i-*o sin/+ cos/ | д t-м 2sin/
sin/-cos/
Так как sin/ - cos / —> -1, при / —» О, получим
sin/- cos/+ 1
lim ,
'-*0 -2sin/
который содержит неопределенность вида ^. С учетом того, что
1 -cos/ = 2sin2 —, sin/= 2sin—cos—,
2 2 2
получим
■ . , , . , - , 2sin2 —+ 2sin—cos—
.. sin/-cos/ + l 1 — cos/+ sin/ 9 70
lim = lim lim - * *• =
'-*0 -2sin/ '-*> -2sin/ '-*> . . < /
-4sin—cos—
2 2
- . t( . t Л ( . I t\
2sin— sin —+ cos— sin —+ cos—
= lim 2j = liml_J Si.J*
= lim 11 - = lim
/ / t-*0
1—cos—
2 2 2
Ответ: —-.
2

Решение
Выражение под знаком предела содержит неопределенность вида 1". Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, можно воспользоваться формулой
lim (n(xH)v(jr)
lim м(х)у**) = е'""* если lim и(х) = 1, lim v(jc) = оо.
Х~*Х0
Для данного примера
. 5х-21 , . 4х-15 и(х)= v(x) = -
, х0 =6.
21-Зх
Тогда
mta£
‘-*{27-3 xj !
Ответ: e 3.

Задание 3.15. Найти односторонние пределы функции /(х) в точках х, и х2.
Проверить на непрерывность функцию в данных точках. Начертить гра¬фик функции.
5х + 23, -65x5—3
х, = —3, х2 = 2.
7 17 Зх2 +—Х-—, -3<хй2>
2 2 2х-15, 2<xS5
Решение
Для обозначения левостороннего и правостороннего пределов функции /(х) в точке х„ используются символы /(хо-0) и /(х0 + 0) соответственно. Для данной функции в точке х = —3 /(-3-0) = 5(-3) + 23 = 8;
Л-3 + 0) = 3 - (-3)2 +|(-3) -у = 8.
Так как /(-3 - 0) = /(-3 + 0) = /(-3), то х = -3 - точка непрерывности данной функции /(х).
В точке х = 2
Д2-0) = 3-2г + - 2-—= 10,51 > 2 2
/(2 -ь 0) = 2- 2 —15 = — II- Так как пределы функции слева и справа конечны и /(2-0)* /(2 + 0), то точка х = 2 - точка разры¬ва I рода функции /(х).
График функции представлен на рисунке 
Ответ: х = -3- точка непрерывности; х = 2 - точка разрыва I рода.

Задание 3.16. Найти производную У(х) от функции у = arcsin х ■ | х ■ arcsin х + 2%/l-x2) -2х.
Вычислить У(0,5).
Решение
У = (arcsinх) ■ ^х • arcsin х + 2л/1 - х2 j + arcsin х ■ |х • arcsin х + 2^1-*2) ~(2х/ у = . * • (х - arcsin х + 2л/Г-ГхП + arcsin х ■ I arcsin х + х ■ , * +
+2—; -2х -2 = (arcsin*)2.
y(0,5) = (arcsin(0,5))J
Ответ: У(0,5) = -^~.
36

Задание 3.17. Найти производную у'(х) от показательно-степенной ( Зх + 7
функции у - I . Вычислить У(5).

Решение
Прологарифмируем функцию:
Найдем производные обеих частей полученного равенства
3(3х - 7) - (Зх + 7)3
(Зх-7)2 Зх-7
х ( х ^
42In— 42In -
5_ 49
У(5) = jln(2,75) «0,202. 

Задание 3.18. Найти производную у'х от функции, заданной параметри- 31
2/3 +1 312

у=—
2г +1
Решение
Производная функции заданной параметрически находится по формуле
у =4; Х=*«).
Найдем у;, х,', у'ж.
, 6г(2/3 + 1)-3/г-6/2 6t-6i4 , 3(2<3 + 1)-3<-6;2 з-|2/3
(2/3 + l)2 (2/3 + 1)2 ' (2,3 + 1)2 (2/3 + l)2’
. 2t-2t*
У.=
Ответ: y[ =
1-4/

Задание 3.19. Найти производную У(х) от функции, заданной неявным способом 5х5у* + cos (Зх - 6у) = Зх2 + 4у*
Решение
Приведем функцию к виду 5х5_у3 + cos(3x - 6у) - Зх2 - 4у* = 0 .
Найдем производные обеих частей полученного равенства. Не забудем, что у = у{х) .
5 ■ 5 х*у3 + 5х5 Зу2У + (- sin (Зх - 6у))(3 - 6У ) - 6х - 4 • 5 у* у = 0;
У (1 5х5У + 6 sin (Зх - 6у) - 20 у4 ) = -25х4У + 3 sin (Зх - 6 у) + 6х;
, -25х4У+3sin(3x-6y) + 6x
^ \5х*у2 +6sin(3x-6y)-20У
_ , -25х4У + 3sin(3x-6v) + 6x
Ответ: У = г^ г.
15xV + 6sin(3x - 6у) - 20у* 

Задачи для контрольных заданий Контрольная работа №1 Элементы линейной алгебры

1. Вычислить значение функции /(z) при z = z0. Ответ представить в тригонометрической форме.

И ft Л- (3~0* + (5 + *5) . '/W (l -»')z2 + (б +/2)’ 0
1.2./(z) = I±t£2}£lHl±iM г=_1 + 3/
’ —2z2 +(-13-/) * 0 ( ) = (=2 + /3]£+(8+^Л 71 ' 2z2+(2 + /9) ’ 0 2 1.4. /(,)-(-1~а)ж + (-1 + Д) z =2-3/ П ' (l-/)z2 +(9+ /6) ’ Z° ^ Л (3-/)z + (ll + ,3)V3 2zJ+(l3 + /13) ’ 2°“2 ЗЛ , * w \ (-3 + /2)z + (-ll + /3)V3
’■6/(-)Л -3-Л(-.3-Й1) •
,,.дг),№М,
, П wv (“3 + i")z + (-7—»)л/з L9-/(2) 1?+(2 + П1) ’
, ,o./(z)=izl±i!k±lZzM 2=_2+#
JV) -2z2 +(-1 —/7) ’ 0

2. Найти Х из матричного уравнения
' 3 1 -f ' 2 -3' 2 -8' 0 o'
2.1. -1 1 2 ЛГ + 5 1 I -2 3 5 = 0 0
I 3 1 -2 -3 -8 -5 0 0
' 2 -1 Г ' 2 Г ' 3 Г '0 o'
2.2. 1 1 2 X-4 -2 -4 + 3 -1 -7 = 0 0
-1 3 1 -5 3 -5 2j 0 0


3. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А и составить ее каноническое разложение
8 10] -2 -lj-


' 7 Г 3.10. Л = -1 -б‘

-6 2 1 4
3.9. А =

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
2дс, - 4х2 + Зх3 = 2,
-Зх, + 2хг - Зх, = -6,. 4.2.
Зх, - 4Х2 + 5х3 = 2.
2х, - Зх2 + 4х3 = 7,
—4х, + 5х2 - 2х3 = -13,. 4.4.
Зх, - 2х2 + 2х3 = 8.
-Зх, + 2Х2 - Зх, = -3,
Зх, - 4Х2 + 5х3 = 9, . 4.6.
-4х, + Зх2 - 2х3 = 2.
Зх, - 4Х2 + 5х3 = 1,
-4х, + Зх2 — 2х3 = -6,. 4.8.
2х, - 4Х2 + Зх3 =1.
—4х, + Зх2 - Зх3 = -9,
2х, - Зх2 + 4х3 = 2, . 4.10.
—4х, + 5Х2 - 2х3 =-10. 4х, — Зх2 + 2х3 = 10.

5. Исследователь систему уравнений на совместимость. В случае совместимости найти ее решение при различных способах выбора базиса.

Зх, + х2 + Зх3 + 2Х4 = 2, 4х, - 2х3 - х3 + Зх4 = -2, -2х, + Зх2 + Зх3 - 2Х4 = 3, -Зх, + 6х2 + 7х3 - Зх4 = 7.
- х, + 2Х2 + 2х3 + х4 = -2, 2х, +х2 — х3 +2Х4=-1, -Зх, + 2х2 + Зх3 + х4 = —3, -4х, - х2 + 2х3 - 2х4 = 0. -2х, + Зх2 - 2х3 + Зх4 = -3, Зх, - х2 + Зх, - Зх4 = 3, 2х, + х2 + Зх3 — х4 = 2, Зх, + Зх2 + 4х3 — х4 = 2.
х, + 2х2 - Зх3 + х4 = 4, Зх, + х2 - 2х3 - 2х4 = 2, 2х, + 2х2 - 4х3 + х4 = 5. х, + Зх2 - 2х3 - 2Х4 = -3,
- х, - 2Х2 + х3 + 2Х4 = 2, -2х, - х2 + Зх3 + х4 = -2, -Зх, - 2х2 + Зх3 + Зх4 = -1. -2х, + Зх2 - 2х3 + х4 = 3, -Зх, + х2 +х3 + 2х4 = -1, х, - 2Х2 + 2х3 - х4 = -2, ЗХ,-2Х2 +Х3-ЗХ4=0. 
2х, + Зх2 + 2х3 - хА = -2, 2х, + х2 - л, + 2х„ = 1, х, + 2х2 + Зх, - 2Х4 - -2, -Зх, - 2Х2 + 2х3 - Зх4 = -1.
— х, + Зх2 - Зх, + Зх4 = 2, Зх, - 2Х2 + Зх3 - 2Х4 = -1, х, + Зх2 — х3 + 2Х4 = 2, -Зх, + 8Х2 - 7х3 + 7Х4 = 5.
-2х, + 2Х2 - х, + х4 = 2,
- х, + х2 - 2х3 + Зх4 = -1, Зх, - 2Х2 + Х, - 2Х4 = -3, -2х, + Зх2 - Зх, + Зх4 = 0. х, — 2Х2 х3 + Зх4 — 2, -2х, + х2 + Зх3 - 2Х4 = -3, 2х, — х2 - 2х, + х4 = 2, Зх, — Зх2 - 2х3 + Зх4 = 3.

Контрольная работа № 2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

6. Даны \Ц, |б| - длины векторов а, Ъ и и угол между ними Най-ти угол между векторами с, d.

6.1. |а) = 4, |б| = 2>/2, [^а ,b j = с =-а + 2b, d =-а+ Ъ.
6.2. р| = 3, |b| = 2, = c = -a + 3b,d = -2a + 3b.
6.3. jaj = 6, |ft| = Зл/З, =—, с = а + 2b, d = a + b.
6.4. pj = 6, |*| = 2>/2, = c = 2a + 3b,d = a + 3b.
6.5. [о| = 5, |б| = Ю, = с~а + ^< 2а + А.
6.6. p| = 5V3,|i| = 2,^ij = ^, с■= -2а + ЮЛ,~d -2а-5Ь.
6.7. |а| = 4>/2, |fe| = 8, = с =-2а+ b,d = а-Ь.
6.8. [о| = 3, |й| = 4,^а = c = -2a + 3b, d = 4а-ЗЬ.
6.9. [а| = Зл/З, |л| = 2, ,*j =—, c = a + 3b,d = -2a-3b.
6.10. (а| = 4, |i&| = 2у/3, с = -а + 2b, d = -а + Ъ.
7. Даны координаты вершин пирамиды A0AiA2A3. Найти: 1) длину ребра
А0А1; 2) угол между ребрами и \А2, с точностью до целого фадуса; 
3) угол между ребром А,,А3 и гранью А0А,А2, с точностью до целого градуса; 4) площадь грани А0А1А2, с точностью до 0,001; 5) объем пирамиды; 6) длину вы¬соты, опущенной из вершины А, на грань А0А1А2, , с точностью до 0,001; 7) уравнение ребра АдА^; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А} на грань А0А1А2, 9) уравнение грани А0А1Аг.

7.1. Ло(-4;1;3), /1,(1;6;-1), А2(-2;-3;5), ^(-б;7;7).
7.2. Л(1;-5;-2), А,(7;-1;4), /^(-4;-2;6), /1,(-3;1;5).
7.3. 4,(-3;-4;7), Л,(-5;2;-1), А2(-6;-5;3), /1,(1;-7;5).
7.4. -4,(2;-1;7), /1,(-5;3;-4), ^(-7;5;-2), ^(-4;7;1).
7.5. Д)(7;1;-5), Л,(-1;7;-1), А,(3;-4;-2), Л(5;-3;1).
7.6. Л(-1;4;1). Л(-1;6;-2), А2(3;5;-б), А3(-5;-2;-4).
7.7. 4,(6;-2;-3), /1,(4;-5;6), ^(-l;-2;4), ^(4;1;б).
7.8. /Ц-3;5;-4), А,(7;7;5), Л(1;3;2), Лз(б;-1;-4).
7.9. 4,(-|;-2;-5), /1,(5;-4;—2), ^(3;-1;-б), 4(3;2;-3).
7.10. ЛД2;-3;5), ^(-2;-5;3), ^(-4;-2;-4), Л,(5;-6;-1).
8. Даны координаты вершин треугольника ABC. Составить уравнение медианы AD, высоты BE и биссектрисы CF этого треугольника. Сделать чер¬теж.
8.1. Л(4;1), Я(3;-б), С(-7;-1). 8.2. А(-7;7), Я(9;-1), С(-2;-3).
8.3. А(-5;9), В(7;-7), С(-3;-2). 8.4. Л(-8;1), Я(4;-5), С(-3;-4).
8.5. Л(-1;5), В(3;-7), С(-2;-2). 8.6. /1(-6;-7), »(-2;5), С(8;-5).
8.7. А(7;-3), Д(-1;-7), С(-3;7). 8.8. А(-4;-|), В(-3;2), С(7;-3).
8.9. /1(6;-2), й(-1;-3), С(1;8). 8.10. /1(-2;5), Я(1;6), С(3;-5).

9. Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки А(х,у) к расстоянию до прямой (/) постоянно и равно I. Сделать точный чертеж в масштабе.
9.1. Л(-Л/34;0), (/): л/34* + 25 = 0, t =
9.2. A(V5;0), (/): V5x-9 = 0, 3
9.3. А(0;7з), (/): у/Зу-4 = 0, „А
2
9.4. /l(V20;0), (/): V5дг-8 = 0 II

9.5. /f(0;Vl2), (/): Vl2>«-16 = 0, t =
9.6. Л(7П;0) (/): >/l3x-9 = 0, ‘ =
9.7. /1(л/15;0), (/): Vl5x-16 = 0, / = —.
9.8. xl(-V20;0), (/): >/5x + 8 = 0, / = ^.
9.9. л(->/5;0), (/): V5x + 9 = 0, l = ~--
9.10. /)(-V34;0), (/): V34x + 25 = 0, t=^-.

10. Найти точку А/', симметричную точке М относительно плоскости (тг).
10.1. Л/(-2;0;3), (л-): 2x-2j/ + 10z + l = 0.
10.2. А/(8;-5;-6), (яг): 2х — 4д> + 8г-9 = 0.
10.3. А/(3;3;3), (я): 8x + 6,y + 8z-25 = 0.
10.4. Л/(-8;7;-3), (я): 8х + 2^-4г + 17 = 0
10.5. ЛУ(-1;0;1), (л): 2х + 4у-Ъ = 0.
10.6. М(3;— 6; 8), (л): 8x + 4_y-6z + 19 = 0.
10.7. А/(2;-2;-3), (я): y+z+2=0.
10.8. А/(5;-6; 9), (тг): 6x + 4_y-4z+13 = 0.
10.9. Л/(-2;-3;0), (л-): х + 5.у + 4 = 0.
10.10. А/(3;—6; 7), (я): 8x + 6^-4z + l 1 = 0.

Контрольная работа №3 Введение в математический анализ

11. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. Найти предел /(х) при х —* х,, х —» х2, х —* х}.

при X —*■ 1, X —> —1, X -» ОО .



12-14. Найти пределы функций,
725-х2 -Vl-5x
12.1. lim
х-*~3
7l8-x2 -3 729-х2 -У-Зх-11
5->/50-х2
.. 734-2х2 -4
12.5. 11111-7== ■
г_*"3 л/2х2 + 7 — 74 - 7х
не пользуясь правилом Лопиталя.
4 - 725-х2 73х+16 —720-х2 733-2x2 -5 *"“*~2 7вх + 25 —Jsx2 -11 79-4х-72х2-7
12.6. lim
I-*-4 4-748-2x2

3-759-2Х2
12.7. lim-
■ ini . . —
5 754 - 2x2 - 7—4x - 16
.2.9. lin
X-^3 731-3X2 -2
ctg X - 7з
13.1. lim
.Hi 2sinx-l
6
2sinx-73
* tgx-Тз ■
13.5. lim -3* + 1 .
13.3. lim
72cosx + 1 2sinx+ 1
13.7. lim
^ctgx-73
77-X-72X2 + 1
12.8. lim
0-x2 -6
752-3x2
12.10. lim
M-74x + 25—7x2 —7 72cosx-l
13.2. lim
tgx-1 tgx + Тз
13.4. lim
2cosx+1
3
2COSX + 73
13.6. lim
+5* 2sinx-l
e
13.8. lim .
V2 sin x +1
13.9. lim ^ctg* ' . i*2sinx +V3
13.10. lim ~osx -1. x-& tg x + v3

14.l.Iimfii±ll J-* lj7-2x J
,4.3. limf4^] *-426-3*;
,4.5. limf2Х~161^ *-*{32-5xJ
IQ-Зх
4x-20
14.2. limf— 4дсЛ
• *-*42x-15j
2l-3x
4x-32
14.6. limf1^1 «^»V5x-43j

2x-l9
( 2jc-19V2"6x
14.7. lim,
*->4-9-3*
,4.9.
*-*435-4*;
•; H—ЧХ
,4.8. limf7"2*
*^{4x-23j
,4.10. limf1-?"4*!
*-4 5JC - 8 J

15. Найти односторонние пределы функции /(*) в точках *, и х2. Про¬верить, является ли непрерывной данная функция в этих точках. Начертить гра¬фик функции.
-4х - 2, — 2 < х < 1,
—Зх + 24, 6<дг<9,
-Здг-10, - 5 < * < -2,
х2 - —х-5, -2<*<3,
15.2. f(x) =
3 < х < 6, -2<х<1,
5 2 27 1 х, =1,
—х X , 1<х^6, ')
4 4 2 ’ х,=6.


-*г--*-—, -3<хй2, Х'~ 3’
4 4 2 ’ х!г=2.

19.1. 2.x3 + 4y4 + sin(2x-5,y) = Зх4,3.
19.3. 4x4+3ys +e*x~7y = 2xsy*.
19.5. 2x3 +cos(5x + 2>') = 6x4y! +4y*.
19.7. 4x4 + sin(7x + 5>) = Sx5y* + 3ys.
19.9. 3xV +e1I'*y = 4x5 + 2/.
19.2. 3x5 + cos (3x - 6,) = 4хУ + 2y3.
19.4. 2x}y3 + 4y* + sin(6x-3y) = 3x3.
19.6. 3x5 + 2y3 + e6l*3y = 7x3/.
19.8. 4x3j>4 + cos(5x—2y) = 2x4 +3y3.
19.10. 7x3y4+3y3+sin(2x-5y) = 2x4.

Литература
1. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для втузов/
В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. - М.: Высш. школа, 1972. - 640 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебн. для втузов. Т.1/ Н.С.Пискунов. - М.: Интеграл-Пресс, 1998. - 544 с.
3. Ильин В.А. Аналитическая геометрия/ В.А. Ильин, Э.ГЛозняк. - М.: Наука, 1981.-232 с.
4. Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г.Позняк. - М.: Наука, 1984. - 294 с.
Содержание
1. Правила выполнения и оформления контрольных работ 3
2. Введение 4
3. Элементы линейной алгебры 4
4. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии 12
5. Справочный материал для выполнения задания 2.9 18
6. Введение в математический анализ 20
7. Задачи для контрольных заданий 32
8. Литература 36
Подписано в печать 9.06.2009. Уел. печ. л. 2,25 Тираж 120 экз.
Печать офсетная. Бумага писчая. Заказ № 345.
Отпечатано: РИО ВоГТУ, г. Вологда, ул. Ленина, 15